FACTORIZACIÓN
Es simplificar o descomponer, por ejemplo un número, una raíz o un polinomio, en números primos.
Principales Casos de factorización.
1.Factor común (CASO1): ¿Cuando se aplica y como se caracteriza?
- Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.
- Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio.
- Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata de factorizar un polinomio.
- El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
¿Como realizar la factorización?
- De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos.
- De las letras o expresiones en paréntesis repetidas, se extrae la de menor exponente.
- Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
Ejemplos:
Ejemplos:
a) 3x + 3y = 3(x + y)
b) 10a − 15b = 5 (2a − 3b)
c) mp + mq − mr = m (p + q − r)
d) −7x³ + 8x² − 4x + 11 = −( 7x³ − 8x² + 4x − 11)
e) x (a+1) − t (a+1) +5( a+1) = (a+1) (x - t + 5)
f) 12c³d⁴f² − 18c²df² + 30c⁵d³f²h = 6c²df (2cd³ − 3 + 5c³d²h)
2.Factor por agrupación de términos (CASO 2): ¿Cuando se aplica y como se caracteriza?
- Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (Caso 1 ).
¿Como realizar la factorización?
- Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
- La agrupación se hace colocando paréntesis.
- ¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo.
- Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).
- Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).
Ejemplos:
a) Factorizar: px + mx + py + my
Nótese que no existe factor común en este polinomio de cuatro términos.
Entonces, formamos grupos de dos términos: = (px + mx) + (py + my)
Extraemos factor común de cada grupo formado: = x (p + m) + y (p + m)
Por último, extraemos factor común de toda la expresión: = (p + m) (x + y)
b) Factorizar: 2ac − 5bd − 2a + 2ad + 5b − 5bc
Nótese que no existe factor común en este polinomio de seis términos.
Antes de formar los grupos, es conveniente reubicar los términos (observe que
hay tres que tienen coeficiente 2 y otros tres que tienen coeficiente 5...¡Eso es un rasgo común!):
= 2ac − 2a + 2ad − 5bc + 5b − 5bd
Agrupamos: Los tres primeros términos y los tres últimos:
= (2ac − 2a + 2ad) − (5bc − 5b + 5bd)
Nótese que los signos del segundo paréntesis cambiaron, ya que éste queda
precedido de signo negativo. Ahora, extraemos factor común de cada grupo
formado:
= 2a (c − 1 + d) − 5b (c − 1 + d)
Por último, extraemos factor común de toda la expresión:
= (c − 1 + d) (2a − 5b)
3.Diferencia de cuadrados perfectos (Caso 3): ¿Cuando se aplica y como se caracteriza?
- Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
- Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados
perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y
los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc).
¿Como realizar la factorización?
- Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la
raíz cuadrada normalmente (por ejemplo:
81 = 9 )
- Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).
- Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA).
Ejemplos:
a) Factorizar: a² − b²
Extraemos la raíz cuadrada de cada término:
a² = a ; b² = b.
Entonces, la factorización queda así: = (a + b) (a − b)
b) Factorizar: 49x⁴ y² − 64w¹⁰ z¹⁴
Extraemos la raíz cuadrada de cada término:
49x⁴y² = 7x² y ;
64w¹⁰z¹⁴ = 8w⁵z⁷
Entonces, la factorización queda así: = (7x² y + 8w⁵ z⁷) (7x² y − 8w⁵ z⁷ )
2.Factor por agrupación de términos (CASO 2): ¿Cuando se aplica y como se caracteriza?
- Se aplica en polinomios que tienen 4, 6, 8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (Caso 1 ).
¿Como realizar la factorización?
- Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
- La agrupación se hace colocando paréntesis.
- ¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesis si éste queda precedido por signo negativo.
- Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).
- Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).
Ejemplos:
a) Factorizar: px + mx + py + my
Nótese que no existe factor común en este polinomio de cuatro términos.
Entonces, formamos grupos de dos términos: = (px + mx) + (py + my)
Extraemos factor común de cada grupo formado: = x (p + m) + y (p + m)
Por último, extraemos factor común de toda la expresión: = (p + m) (x + y)
b) Factorizar: 2ac − 5bd − 2a + 2ad + 5b − 5bc
Nótese que no existe factor común en este polinomio de seis términos.
Antes de formar los grupos, es conveniente reubicar los términos (observe que
hay tres que tienen coeficiente 2 y otros tres que tienen coeficiente 5...¡Eso es un rasgo común!):
= 2ac − 2a + 2ad − 5bc + 5b − 5bd
Agrupamos: Los tres primeros términos y los tres últimos:
= (2ac − 2a + 2ad) − (5bc − 5b + 5bd)
Nótese que los signos del segundo paréntesis cambiaron, ya que éste queda
precedido de signo negativo. Ahora, extraemos factor común de cada grupo
formado:
= 2a (c − 1 + d) − 5b (c − 1 + d)
Por último, extraemos factor común de toda la expresión:
= (c − 1 + d) (2a − 5b)
3.Diferencia de cuadrados perfectos (Caso 3): ¿Cuando se aplica y como se caracteriza?
- Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
- Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados
perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y
los exponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc).
¿Como realizar la factorización?
- Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la
raíz cuadrada normalmente (por ejemplo:
81 = 9 )- Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).
- Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA).
Ejemplos:
a) Factorizar: a² − b²
Extraemos la raíz cuadrada de cada término:
a² = a ; b² = b.Entonces, la factorización queda así: = (a + b) (a − b)
b) Factorizar: 49x⁴ y² − 64w¹⁰ z¹⁴
Extraemos la raíz cuadrada de cada término:
49x⁴y² = 7x² y ;64w¹⁰z¹⁴ = 8w⁵z⁷Entonces, la factorización queda así: = (7x² y + 8w⁵ z⁷) (7x² y − 8w⁵ z⁷ )
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